Od najmłodszych lat był zaprawiany do życia w trudzie i cierpieniu. Nic dziwnego, że w jego Pamiętnikach można wyczytać wiele twardych słów, ukazujących, jak wiele od siebie wymagał. Urodził się w rodzinie szlacheckiej 1 listopada 1822 r. w Wojutynie na Wołyniu. Jego ojciec był deputatem Sądu Okręgowego w Żytomierzu. Był bratem Alojzego Felińskiego, poety. Matka, Ewa z Wendorffów Felińska, była wielką patriotką, po śmierci męża samotnie wychowywała z wielką miłością sześcioro dzieci. Wtedy też za działalność konspiracyjną została skazana na Sybir, a majątek ich skasowano.
W tym czasie Zygmunt został wysłany przez swojego opiekuna na studia matematyczne w Moskwie. Później ukończył studia teologiczne. W 1855 r. przyjął w Petersburgu święcenia kapłańskie. Tam też w 2 lata później założył Zgromadzenie Sióstr Franciszkanek Maryi. Dostrzegał wokół biedne dzieci, sieroty, opuszczonych ludzi starszych i chorych - wszystkich powierzył opiece sióstr. W 1862 r. został ustanowiony arcybiskupem Warszawy. Urząd ten pełnił zaledwie 16 miesięcy. Warszawa z wielką nieufnością i sceptycyzmem przyjęła nowego Arcypasterza. Wówczas też sprowadził do Warszawy z Petersburga Siostry Rodziny Maryi. Niezachwiana wiara dała mu moc i odwagę, by przeciwstawić się carowi Aleksandrowi II. Choć w Warszawie był osamotniony, niezrozumiany i niesłusznie posądzany, to jednak odważnie stawał w obronie praw Narodu i Kościoła. Pisał: „Co nas czeka? Nie wiem. Jedno wiem tylko, że tych, których mi Bóg powierzył, nie opuszczę, choć się ode mnie odwracają”. Za swoją jednoznaczną postawę został skazany na zsyłkę do Jarosławia nad Wołgą, gdzie spędził 20 lat. Warszawę opuścił 14 czerwca 1863 r. Kiedy po kilkunastu latach pobytu na zsyłce widział, że nie ma widoku na powrót do Ojczyzny, w trosce o siostry pisał do swoich córek duchowych listy. W ten sposób pragnął mieć kontakt i opiekę nad młodym, rozwijającym się Zgromadzeniem. Listy przekazał siostrom jako „upominek ojcowskiej miłości ku siostrom”. Tych listów napisał 43, podejmował różne tematy z życia ascetycznego, ale, zdaniem wielu, jednym z najpiękniejszych jest List o Eucharystii. Stwierdził, że jeśli się mówi o Eucharystii, Chlebie Anielskim, winno się mieć serce anielskie, by godnie przedstawić temat i innych zapalić do miłości. Zachęca do dobrego przygotowania się do Komunii św. i dodaje, że z każdą przyjętą Komunią św. winna wzrastać nasza miłość. „Im kto lepiej przygotowany jest do Komunii św., tym gorętszym zapala się pragnieniem przystąpienia znowu do niej, bo jak ogień dorzucony do ognia siłę pożarów wzmaga, tak każde zjednoczenie z Panem siłę miłosnej spójni z nim pomnaża”.
Podczas pobytu w Jarosławiu ludzie przeżywający podobną sytuację przychodzili do niego po duchowe wsparcie. Zawsze był gotów służyć swoją osobą, swoją mądrością i modlitwą. Po zwolnieniu z zsyłki abp Szczęsny Feliński zamieszkał w małej wiosce Dźwiniaczce, w zaborze austriackim. Miał zakaz powrotu do Warszawy. Tu przez 12 lat prowadził ciche życie. Przyczynił się do ożywienia życia religijnego wiernych, założył pierwszą we wsi szkołę dla dzieci polskich i ukraińskich, zbudował kościół, nowy budynek szkolny, klasztor, do którego sprowadził Siostry Rodziny Maryi. Zmarł w Krakowie 17 września 1895 r.
Często mówiono o abp. Felińskim: „Ten człowiek nie świecił własnym światłem, lecz w sobie odbijał światło Boga”. Mamy szczególne prawo do jego orędownictwa, wszak na ziemi podkarpackiej dokonał się cud za przyczyną abp. Felińskiego, który przyspieszył jego beatyfikację.